C語言資料結構之堆排序詳解

2022-03-10 13:01:21

1.堆的概念及結構

如果有一個關鍵碼的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二元樹（二元樹具體概念參見——二元樹詳解）的順序儲存方式儲存在一個一維陣列中，並滿足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，則稱為小堆(或大堆)。將根節點最大的堆叫做最大堆或大根堆，根節點最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性質：

堆中某個節點的值總是不大於或不小於其父節點的值；
堆總是一棵完全二元樹。

2.堆的實現

堆的實現請參見——二元樹詳解（堆的實現）

2.1 堆的向下調整演演算法

（此文章都已建小堆為例）

向下調整演演算法前提：當前樹左右子樹都是小堆

核心思想：選出左右孩子中小的那個，和父親交換，小的往上浮，大的往下沉，這裡是小堆，如果是大堆則相反。

程式碼實現

void swap(int *x, int *y)
{
    int temp = *x;
    *x = *y;
    *y = temp;
}
//堆向下調整演演算法
void AdjustDown(int *a, int n, int root)
{
    int parent = root;
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child<n)
    {
        //保證孩子節點child為兩個孩子中的最小值；保證不越界
        if (a[child] > a[child + 1] && child+1 < n)
            ++child;
        if (a[child] < a[parent])
        {
            swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
            break;
    }
}

2.2 堆的向上調整演演算法

使用場景：向上調整演演算法適用於向堆中插入資料，當向堆中插入資料就可能會導致堆失去大堆或者小堆的性質，此時需要重新調整，向上調整的思路與向下調整演演算法的思路類似，向上調整演演算法只需要從插入結點位置開始和父節點比較。

圖示：

程式碼實現：

void AdjustUp(int *a, int child)
{
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0)
    {
        if (a[parent] > a[child])
        {
            swap(&a[parent], &a[child]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
        else
            break;
    }
}

2.3 建堆（陣列）

從最後一個非葉子節點位置行依次開始調整，如圖：

程式碼實現：

int parent = (n-2) / 2;
    //首先對每一個非葉子節點進行一次向下調整演演算法，保證每個非葉子節點的
    //孩子都小於它的父節點，然後可得到最小值，就在堆的頂端的父節點（也叫做建小堆）
    while (parent >= 0)
    {
        AdjustDown(a, n, parent);
        --parent;
    }

2.4 堆排序

升序建大堆，降序建小堆

void HeapSort(int *a, int n)
{
    int parent = (n-2) / 2;
    //首先對每一個非葉子節點進行一次向下調整演演算法，保證每個非葉子節點的
    //孩子都小於它的父節點，然後可得到最小值，就在堆的頂端的父節點（也叫做建小堆）
    while (parent >= 0)
    {
        AdjustDown(a, n, parent);
        --parent;
    }
    int end = n-1;
    while (end>0)
    {
        //將堆頂的數與最後的end,以此迴圈，進行交換就可得到有序序列
        //注意：建小堆，得到降序序列
        swap(&a[end], &a[0]);
        AdjustDown(a, end, 0);
        --end;
    }
}