python機器學習MATLAB最小二乘法的兩種解讀

2022-02-09 13:01:38

最小二乘法

大部分的最小二乘法公式推導，都是使用的代價函數偏導的方式來求得的，在這裡首先展示如何通過代價函數求偏導的方式得到最小二乘公式，再展示李揚老師講解的如何由向量到子空間的距離得來最小二乘法公式。

代價函數與最小二乘法

假設我們的擬合結果為：

則平方損失函數為：

平方損失函數的形式只有極小值，沒有極大值，我們要使代價函數最小，我們要找到其極值點，即偏導均為0的點，代價函數對於各引數偏導如下：

令偏導為0得：

實際上若是令:

則有：

向量到子空間的距離與最小二乘法

最小二乘法與多項式擬合

以下展示自己編寫最小二乘法擬合多項式與MATLAB自帶函數 polyfit 擬合多項式的引數對比，注意，為了和MATLAB自帶函數保持一致，θ向量變為第一個引數為 θn ,最後一個引數為 θo , X 矩陣也做了相應的調整：

% 最小二乘法多項式擬合
% 原三次函數+隨機噪聲
f=@(x)x.^3+6.*x.^2-2.*x+4+(rand(size(x))-.5).*20;
% 構造原始資料
x=-5:.1:5;
y=f(x);
% 自己寫一個最小二乘
n=3;% 最高次數為三次
X=(x').^(n:-1:0);
theta1=((X'*X)X'*y')';
% MATLAB自帶多項式擬合
theta2=polyfit(x,y,n);
% 輸出對比
disp(theta1)
disp(theta2)
% 一個小技巧，下面的寫法能夠快速將
% 引數向量變成有關x的多項式匿名函數
func=matlabFunction(poly2sym(theta1));

theta1=
0.9686 6.0178 -1.8845 4.3362
theta2=
0.9686 6.0178 -1.8845 4.3362

多項式擬合結果繪圖：

% 繪圖部分
% 保持座標區域不重新整理並新增網格
ax=gca;hold(ax,'on');grid(ax,'on');
% 繪製原資料點和擬合結果
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor',[94,142,179]./255);
plot(x,func(x),'Color',[0,64,115]./255,'LineWidth',2);
% 修飾一下
ax.FontName='cambria';
ax.LineWidth=1.5;
ax.GridLineStyle='--';
ax.XColor=[1,1,1].*.3;
ax.YColor=[1,1,1].*.3;
ax.ZColor=[1,1,1].*.3;

最小二乘法與多元線性迴歸

以下展示自己編寫最小二乘法進行多元線性迴歸與MATLAB自帶函數 regress 進行多元線性迴歸的引數對比：

% 最小二乘法多元線性迴歸
% 原二元函數+隨機噪聲
f=@(x1,x2) 3.*x1+4.*x2+5+(rand(size(x1))-.5).*10;
% 構造原始資料
[x1,x2]=meshgrid(-5:.5:5,-5:.5:5);
y=f(x1,x2);
% 自己寫一個最小二乘
X=[x1(:),x2(:),ones(size(x1(:)))];
theta1=((X'*X)X'*y(:));
% MATLAB多元線性迴歸
theta2=regress(y(:),X);
% 輸出對比
disp(theta1)
disp(theta2)
% 構造擬合結果的二元匿名函數
func=matlabFunction([sym('x1'),sym('x2'),1]*theta1);

theta1=
2.9285 4.0688 4.7520
theta2=
2.9285 4.0688 4.7520

多元線性迴歸結果繪圖：

% 繪圖部分
% 保持座標區域不重新整理並新增網格
ax=gca;hold(ax,'on');grid(ax,'on');
% 繪製原資料點和擬合結果
mesh(x1,x2,func(x1,x2),'FaceColor','flat','FaceAlpha',.8)
scatter3(x1(:),x2(:),y(:),20,'filled')
% 修飾一下
ax.FontName='cambria';
ax.LineWidth=1.5;
ax.GridLineStyle='--';
ax.XColor=[1,1,1].*.3;
ax.YColor=[1,1,1].*.3;
ax.ZColor=[1,1,1].*.3;
view(30,20)

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