C++ 動態規劃演演算法使用分析

2022-03-24 19:00:10

Fibonacci

題目描述：

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個正整數 n ，請你輸出斐波那契數列的第 n 項。

解題思路：

1.遞迴

2.動態規劃

狀態：F(n)

狀態遞推：F(n)=F(n-1)+F(n-2)

初始值：F(1)=F(2)=1

返回結果：F(N)

程式碼實現：

法一：遞迴（效率低）：

class Solution{public: int Fibonacci(int n)
{        // 初始值 
	if (n <= 0)
	{ 
		return 0; 
	} 
	if (n == 1 || n == 2) 
	{
		return 1; 
	}        
	// F(n)=F(n-1)+F(n-2) 
	return Fibonacci(n - 2) + Fibonacci(n - 1); }};

法二：動態規劃

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==1 || n==2)
            return 1;
        int fn;
        int fn1 = 1, fn2 = 1;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            fn = fn1 + fn2;
            fn1 = fn2;
            fn2 = fn;
        }
        
        return fn;
        /*上述解法的空間複雜度為O(n)
        其實F(n)只與它相鄰的前兩項有關，
        所以沒有必要儲存所有子問題的解
        只需要儲存兩個子問題的解就可以
        下面方法的空間複雜度將為O(1)*/
        if(n==1 || n==2)
            return 1;
        int* F = new int[n];
        //初始狀態
        F[0] = 1;
        F[1] = 1;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            F[i] = F[i-1] + F[i-2];
        }
        
        return F[n-1];
    }
};

字串分割(Word Break)

題目描述：

給定一個字串s和一組單詞dict，判斷s是否可以用空格分割成一個單詞序列，使得單詞序列中所有的單詞都是dict中的單詞（序列可以包含一個或多個單詞）。

例如:

給定s=“nowcode”；

dict=[“now”, “code”].

返回true，因為"nowcode"可以被分割成"now code".

解題思路：

狀態：

子狀態：前1，2，3，…,n個字元能否根據詞典中的詞被成功分詞
F(i): 前i個字元能否根據詞典中的詞被成功分詞

狀態遞推：

F(i): true{j <i && F(j) && substr[j+1,i]能在詞典中找到} OR false 在j小於i中，只要能找到一個F(j)為true，並且從j+1到i之間的字元能在詞典中找到，則F(i)為true

初始值：

對於初始值無法確定的，可以引入一個不代表實際意義的空狀態，作為狀態的起始空狀態的值需要保證狀態遞推可以正確且順利的進行，到底取什麼值可以通過簡單的例子進行驗證 F(0) = true

返回結果：F(n)

程式碼實現：

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dict) {
        int len = s.size();
        vector<bool> F(len+1, false);
        F[0] = true;
        for(int i = 1; i <= len; i++)
        {
            //F[8]的狀態：7<8 && F[7] && [8,8]
            //F[8]的狀態：6<8 && F[6] && [7,8] 
            for(int j = i-1; j >= 0; j--)
            {
                if(F[j] && dict.find(s.substr(j,i-j)) != dict.end())
                {
                    F[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        
        return F[len];
    }
};

三角矩陣(Triangle)

題目描述：

給出一個三角形，計算從三角形頂部到底部的最小路徑和，每一步都可以移動到下面一行相鄰的數位

例如，給出的三角形如下：

[[20],[30,40],[60,50,70],[40,10,80,30]]

解題思路：

狀態：子狀態：從(0,0)到(1,0),(1,1),(2,0),…(n,n)的最短路徑和 F(i,j): 從(0,0)到(i,j)的最短路徑和

狀態遞推： F(i,j) = min( F(i-1, j-1), F(i-1, j)) + triangle[i][j]

初始值： F(0,0) = triangle[0][0]返回結果： min(F(n-1, i))

程式碼實現：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.empty())
            return 0;
        int row = triangle.size();
        vector<vector<int> > minSum(triangle);
        for(int i = 1; i < row; i++)
        {
            for(int j = 0; j <= i; j++)
            {
                if(j == 0)
                    minSum[i][j] = minSum[i-1][j] + triangle[i][j];
                else if(j == i)
                    minSum[i][j] = minSum[i-1][j-1] + triangle[i][j];
                else
                    minSum[i][j] = min(minSum[i-1][j], minSum[i-1][j-1])
                                   + triangle[i][j];
            }
        }
        int result = minSum[row-1][0];
        for(int i = 1; i < triangle.size(); i++)
        {
            result = min(result, minSum[row-1][i]);
        }
        
        return result;
    }
};

路徑總數(Unique Paths)

題目描述：

一個機器人在m×n大小的地圖的左上角（起點）。機器人每次可以向下或向右移動。機器人要到達地圖的右下角（終點）。可以有多少種不同的路徑從起點走到終點？

解題思路：

狀態：子狀態：從(0,0)到達(1,0),(1,1),(2,1),…(m-1,n-1)的路徑數 F(i,j): 從(0,0)到達F(i,j)的路徑數

狀態遞推： F(i,j) = F(i-1,j) + F(i,j-1)

初始化：特殊情況：第0行和第0列 F(0,i) = 1 F(i,0) = 1

返回結果： F(m-1,n-1)

程式碼實現：

class Solution {
public:
    /**
     * 
     * @param m int整型 
     * @param n int整型 
     * @return int整型
     */
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // write code here
        vector<vector<int> > ret(m, vector<int>(n,1));
        for(int i = 1; i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
                ret[i][j] = ret[i-1][j] + ret[i][j-1];
            }
        }
        
        return ret[m-1][n-1];
    }
};

最小路徑和(Minimum Path Sum)

題目描述：

給定一個由非負整數填充的m x n的二維陣列，現在要從二維陣列的左上角走到右下角，請找出路徑上的所有數位之和最小的路徑。注意：你每次只能向下或向右移動。

解題思路：

狀態：子狀態：從(0,0)到達(1,0),(1,1),(2,1),…(m-1,n-1)的最短路徑 F(i,j): 從(0,0)到達F(i,j)的最短路徑。

狀態遞推： F(i,j) = min{F(i-1,j) , F(i,j-1)} + (i,j)

初始化： F(0,0) = (0,0) 特殊情況：第0行和第0列 F(0,i) = F(0,i-1) + (0,i) F(i,0) = F(i-1,0) + (i,0)

返回結果： F(m-1,n-1)

程式碼實現：

class Solution {
public:
    /**
     * 
     * @param grid int整型vector<vector<>> 
     * @return int整型
     */
    int minPathSum(vector<vector<int> >& grid) {
        // write code here
        if(grid.size() == 0 || grid[0].size() == 0)
            return 0;
        int M = grid.size();
        int N = grid[0].size();
        vector<vector<int> > ret(M, vector<int>(N,0));
        ret[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < N; i++)
        {
            ret[0][i] = ret[0][i-1] + grid[0][i];
        }
        for(int i = 1; i < M; i++)
        {
            ret[i][0] = ret[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int i = 1; i < M; i++)
        {
            for(int j = 1; j < N; j++)
            {
                ret[i][j] = min(ret[i-1][j],ret[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        
        return ret[M-1][N-1];
    }
};

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Fibonacci

字串分割(Word Break)

三角矩陣(Triangle)

路徑總數(Unique Paths)

最小路徑和(Minimum Path Sum)

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