四個範例超詳細講解Java 貪心和列舉的特點與使用

2022-04-08 16:00:03

n 範圍 20 以內：	O(n*2^n)	狀壓搜尋 /dfs 暴搜
n 範圍 200 以內：	O(n^3)	三維 dp
n 範圍 3000 以內：	O(n^2)	二維 dp 揹包列舉二維字首和等
n 範圍 1e5 以內：	O(n√n)	暴力求因子等
n 範圍 1e6 以內：	O(nlogn)	二分答案使用各種 stl 並查集尤拉篩等
n 範圍 1e7 以內：	O(n)	雙指標線性 dp 差分 / 字首和
n 範圍 1e14 以內：	O(√n)	求約數和約數個數

貪心：

貪心指每一步都做出當前最優的選擇。一般解決的問題有如下特點：區域性最優能導致全域性最優。

請注意，貪心並不是萬能的！

有n個物品。每個物品有價值v[i]，以及重量w[i]。

現在取總重量不超過m的物品，問取的物品價值最大是多少？（揹包問題）

策略1：按照價值降序排列，每次取價值最高的。
策略2 ：按照重量升序排列，每次取重量最輕的。
策略3 ：按照價值/重量（即單位價值）降序排列，每次取單位價值最高的。

列舉：

1.樸素列舉

顧名思義，用for迴圈列舉所有情況。

2.狀壓列舉

藉助n進位制的性質進行列舉。

適合場景：共有n個物品，每個物品有m種狀態，列舉所有物品的所有狀態，複雜度為O(m^n)。

二進位制狀壓列舉的寫法：

典型場景：總共有n個數：a1、a2……an，每個數可以取也可以不取，列舉所有方案。

for(int i=0;i<1<<n;i++){  //i為1到2^n的狀態壓縮值   2^n
	int p=i;          //先將i取出
	int sum=0;        //用一個變數維護取出的數之和
	for(j=0;j<n;j++){   //轉為二進位制進行操作
		sum+=p%2*a[j];    //這句話是求取出來的數之和。p%2為對應二進位制位
                  		 //這裡也可以進行其他操作，不一一舉例。
		p/=2;            //求下一個二進位制位
     	}
     //這裡可以新增想要的操作。
   }

演演算法題1：

chika和蜜柑（PriorityQueue+Comparator的使用）

難度 ⭐⭐

chika很喜歡吃蜜柑。每個蜜柑有一定的酸度和甜度，chika喜歡吃甜的，但不喜歡吃酸的。

一共有n個蜜柑，chika吃k個蜜柑，將獲得所吃的甜度之和與酸度之和。chika想獲得儘可能大的甜度總和。如果有多種方案，她希望總酸度儘可能小。

她想知道，最終的總酸度和總甜度是多少？

題目資訊：先按甜度降序排序，後按酸度升序排序（保持之前的甜度降序排序優先，酸度升序排序次之）

輸入描述:

第一行有兩個正整數n和k，分別代表蜜柑總數和chika吃的蜜柑數量。(1≤k≤n≤200000)

第二行有n個正整數ai，分別代表每個蜜柑的酸度。（1≤ai≤1e9）

第二行有n個正整數bi，分別代表每個蜜柑的甜度。（1≤bi≤1e9）

輸出描述:

兩個正整數，用空格隔開。分別表示總酸度和總甜度。

範例

輸入

3 2

1 3 4

2 2 5

輸出

5 7

說明

選擇1號和3號蜜柑，總酸度為5，總甜度為7，為最優解。

import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main{
    public static class Orange{
            int acid;
            int sweet;
            public Orange(int acid, int sweet){
                this.acid = acid;
                this.sweet = sweet;
            }
            public Orange(){}
        }
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] tmp = br.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(tmp[0]);
        int k = Integer.parseInt((tmp[1]));
        String[] ai = br.readLine().split(" ");
        String[] bi = br.readLine().split(" ");
        //定義一個優先佇列，並根據指定的比較器對其元素進行排序。
        PriorityQueue<Orange> queue = new PriorityQueue<>((Orange o1, Orange o2)->{
            //匿名內部類以lambda的形式定義排序規則
            if(o1.sweet == o2.sweet){
                return o1.acid - o2.acid;
            }else{
                return o2.sweet - o1.sweet;
            }
        });
        for(int i = 0; i < n; i++){
            Orange orange = new Orange();
            orange.acid = Integer.parseInt(ai[i]);
            orange.sweet = Integer.parseInt(bi[i]);
            queue.add(orange);
        }
        long totalAcid = 0;
        long totalSweet = 0;
        for(int i = 0; i < k; i++){
            Orange o = queue.poll();
            totalAcid += o.acid;
            totalSweet += o.sweet;
        }
        System.out.println(totalAcid + " " + totalSweet);
    }
}

目的：

瞭解什麼是貪心，當設計到優先順序時可以考慮使用PriorityQueue+Comparator。

演演算法題2：

you和帆船

難度 ⭐⭐

you的父親是一名船長。因此you從小就很喜歡大海。這天，她乘著一艘帆船出發了。

大海上有很多寶藏，每個寶藏的座標是已知的。you的初始座標是（0,0）。她想探索兩個寶藏，然後回到初始點。

you希望航線儘可能短。她想知道，最短航線的長度是多少？

題目資訊：兩個for迴圈列舉一下，再儲存最短路徑即可。

輸入描述:

第一行一個正整數n，代表寶藏的數量。（2≤n≤2000）

接下來的n行，每行2個正整數xi，yi，代表第i個寶藏的座標（-3000≤xi,yi≤3000）

不保證不存在兩個寶藏位置相同。意思是，you可以在同一個位置探索這兩個寶藏。

輸出描述:

最短路線的長度。小數點後保留6位。

範例

輸入

2

1 0

0 1

輸出

3.414214

說明

import java.io.*;
import java.util.*;
 
class Point{
    double x;
    double y;
}
 
public class Main{
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        Point[] points = new Point[n];
        for(int i=0;i<n;i++){
            String[] strings = br.readLine().split(" ");
            Point point = new Point();
            point.x = Integer.parseInt(strings[0]);
            point.y = Integer.parseInt(strings[1]);
            points[i] = point;
        }
        double min = Double.MAX_VALUE;//定義最大值，尋找較小值
        //雙層遍歷列舉
        for (int i=0;i<n-1;i++) {
            for (int j=i+1;j<n;j++) {
                double temp = Math.sqrt(points[i].x*points[i].x + points[i].y*points[i].y) 
                        + Math.sqrt(points[j].x*points[j].x + points[j].y*points[j].y) 
                        + Math.sqrt((points[i].x-points[j].x)*(points[i].x-points[j].x) + (points[i].y-points[j].y)*(points[i].y-points[j].y));
                min = Math.min(min, temp);
            }
        }
        System.out.println(String.format("%.6f", min));
    }
}

目的：

瞭解什麼是列舉，雖然是一個一個列舉，但是結合實際還是有優化的方式。

比如此題兩層迴圈只列舉了一半的情況：因為所求的是距離，跟兩個端點無關。

思考：

假如不止有兩個寶箱需要被獲取，那麼應該怎麼辦？？？下一題可以參考一下。

演演算法題3：

數位染色

難度 ⭐⭐⭐

小紅拿到了一個正整數 X 。她可以將其中一些數位染成紅色。然後她想讓所有染紅的數位數位之和等於沒染色的數位數位之和。

她不知道能不能達成目標。你能告訴她嗎？

輸入描述:

一個正整數X ，1<= X <=10^18

輸出描述:

如果小紅能按要求完成染色，輸出"Yes"。否則輸出"No"。

範例1

輸入

1234567

輸出

Yes

說明

將3、4、7染成紅色即可，這樣3+4+7=1+2+5+6

範例2

輸入

23

輸出

No

說明

顯然無論如何都不能完成染色。

import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args)throws IOException{
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        Long x= Long.parseLong(br.readLine());
        //迴圈0到2^18來展現所有的可能性
        for(int i=0;i<1<<19;i++){
            long p=i,s1=0,s2=0,temp=x;
 
            //將p擬化為2進位制，通過j來尋尾。尋一次p就對應的二進位制數就少一位。
            for(int j=0;j<19;j++){
                if(p%2==1)s1+=temp%10;
                else s2+=temp%10;
                p/=2;
                temp/=10;
            }
            if(s1==s2){
                System.out.println("Yes");
                System.exit(0);
            }
        }
        System.out.println("No");
    }
}

這題使用的是狀壓列舉

只有兩種狀態就擬成2進位制，假如有3種狀態就擬成3進位制（上面的程式碼會有些許改變，n種狀態也一樣）

 for(int i=0;i<1<<19;i++)  
//修改成
 for(int i=0;i<19;i++) p1[i]=p1[i-1]*3;
 for(int i=0;i<p1[i];i++){}

當然這題也可以使用揹包或dfs來解答。

演演算法題4：

ranko的手錶

難度 ⭐⭐⭐⭐

ranko 的手錶壞了，正常應該顯示 xx:xx 的形式（4 個數位），比如下午 1 點半應該顯示 13:30 ，但現在經常會有一些數位有概率無法顯示。

ranko 在 t1 時刻看了下時間，過了一段時間在 t2 時刻看了下時間。她想知道， t1 和t2這兩個時刻之間相距的時間的最大值和最小值是多少？

保證t1在t2之前（且t1和t2不等）。 t1和t2在同一天的 00:00 到 23:59 之間。

輸入描述:

兩行輸入兩個時間，為 xx:xx 的形式。其中 x 為數位或者字元 '?' ，問號代表這個數位沒有顯示。保證輸入是合法的。

輸出描述:

一行輸出兩個整數，分別代表 t1 和 t2 相距時間的最小值和最大值（單位分鐘）。

範例

輸入

18:0?

2?:1?

輸出

121 319

說明

相距最小的時間為 18:09 到 20:10 ，相距121分鐘。

相距最大的時間為 18:00 到 23:19 ，相距319分鐘。

import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String s1 = br.readLine();
        String s2 = br.readLine();
        ArrayList<Integer> a1 = new ArrayList<>();
        ArrayList<Integer> a2 = new ArrayList<>();
        for(int i = 0; i < 60*24; i++){
            int hour = i/60, minute = i%60;
            if((hour/10 == s1.charAt(0)-'0' || s1.charAt(0) == '?') &&
               (hour%10 == s1.charAt(1)-'0' || s1.charAt(1) == '?') &&
               (minute/10 == s1.charAt(3)-'0' || s1.charAt(3) == '?') &&
               (minute%10 == s1.charAt(4)-'0' || s1.charAt(4) == '?')) a1.add(i);
            if((hour/10 == s2.charAt(0)-'0' || s2.charAt(0) == '?') &&
               (hour%10 == s2.charAt(1)-'0' || s2.charAt(1) == '?') &&
               (minute/10 == s2.charAt(3)-'0' || s2.charAt(3) == '?') &&
               (minute%10 == s2.charAt(4)-'0' || s2.charAt(4) == '?'))a2.add(i);
        }
        int min= Integer.MAX_VALUE, max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0; i<a1.size();i++){
            for(int j = 0; j<a2.size();j++){
                if(a1.get(i)<a2.get(j)){
                    min = Math.min(min,a2.get(j)-a1.get(i));
                    max = Math.max(max,a2.get(j)-a1.get(i));
                }
            }
        }
        System.out.print(min + " " + max);
    }
}

假如此題不使用列舉，則會限定很多條件。還不如直接都列舉出來

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