C++詳細講解圖的拓撲排序

2022-05-30 18:03:20

一、前言

且該序列必須滿足下面兩個條件：

每個頂點出現且只出現一次。
若存在一條從頂點 x到頂點 y的路徑，那麼在序列中頂點 x 出現在頂點 y的前面。

拓撲排序只適用於 AOV網（有向無環圖）

若圖中有環，則一定不存在拓撲序。

可以證明，一個有向無環圖，一定存在一個拓撲序列。有向無環圖，又被稱為拓撲圖。

入度: 即有多少條邊指向自己這個節點。

出度: 即有多少條邊從自己這個節點指出去。

二、演演算法流程

演演算法流程：

用佇列來執行，初始化所有入度為0的頂點入隊。

主要由以下兩步迴圈執行，直到不存在入度為 0 的頂點為止

選擇一個入度為 0 的頂點，並將它輸出；

刪除圖中從頂點連出的所有邊

迴圈結束

若輸出的頂點數小於圖中的頂點數，則表示該圖存在迴路，即無法拓撲排序，

否則，輸出的就是拓撲序列（不唯一）

模板如下：

1.陣列模擬佇列實現拓撲排序

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;
    // in[i] 儲存點i的入度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )// 將所有入度為0的點加入佇列
        if (in[i]==0)
            top[ ++ tt] = i;
    while (hh <= tt)
    {
        int t = top[hh ++ ];//找到入度為0的隊頭
  //遍歷一下以t為頭節點的的單連結串列，給每一個結點都要減去1，並再次找到入度為0的點
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
        // 遍歷 t 點的出邊
            int j = e[i];
            if (-- in[j] == 0)//將入度減1,如果 j 入度為0，加入佇列當中
                top[ ++ tt] = j;
        }
    }
    // 如果所有點都入隊了，說明存在拓撲序列；否則不存在拓撲序列。
    return tt == n - 1;
}

2.使用STL queue實現拓撲排序

bool topsort(){
    queue<int> q;
    int t;
    for(int i = 1;i <= n; ++i)// 將所有入度為0的點加入佇列
        if(in[i] == 0) q.push(i);
    while(q.size()){
        t = q.front();//每次取出佇列的首部
        top[cnt] = t;//加入到 拓撲序列中
        cnt ++; // 序列中的元素 ++
        q.pop();
        for(int i = h[t];i != -1; i = ne[i]){
            // 遍歷 t 點的出邊
            int j = e[i];
            in[j] --;// j 的入度 --
            if(in[j] == 0) q.push(j); //如果 j 入度為0，加入佇列當中
        }
    }
    if(cnt < n) return 0;
    else return 1;
}

時間複雜度 O(n+m), n表示點數，m表示邊數

三、有向圖的拓撲排序

給定一個 n 個點 m 條邊的有向圖，點的編號是 1 到 n，圖中可能存在重邊和自環。

請輸出任意一個該有向圖的拓撲序列，如果拓撲序列不存在，則輸出 −1。

思路

我們每次找到入讀為0的點，然後把他插入到佇列裡，然後將這個點刪除，這也就意味著這個點連線的下一個點（可能是多個）的入度就會減1。

這個時候，我們就進入了下一輪。

我們因為前面將一個點刪除了，那麼它指向的點的入度就會都減去1，所以，就會出現新的點的入度為0，這個點顯然是因為它的入度小，所以它理所應當的排在拓撲序裡面在第二位。當前面的一個點沒有了被刪除了，那它就要首當其衝了。

和圖的BFS思路很像，但是加了搜尋的規則（即入度為零的先被搜尋）可以看點這裡

AC程式碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int e[N],ne[N],h[N],idx,in[N],n,m,top[N],cnt = 1;
// e,ne,h,idx 鄰接表模板
// in 代表每個元素的入度
// top是拓撲排序的序列，cnt代表top中有多少個元素
void add(int a,int b){
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a];h[a] = idx ++;
}
bool topsort(){
    queue<int> q;
    int t;
    for(int i = 1;i <= n; ++i)// 將所有入度為0的點加入佇列
        if(in[i] == 0) q.push(i);
    while(q.size()){
        t = q.front();//每次取出佇列的首部
        top[cnt] = t;//加入到 拓撲序列中
        cnt ++; // 序列中的元素 ++
        q.pop();
        for(int i = h[t];i != -1; i = ne[i]){
            // 遍歷 t 點的出邊
            int j = e[i];
            in[j] --;// j 的入度 --
            if(in[j] == 0) q.push(j); //如果 j 入度為0，加入佇列當中
        }
    }
    if(cnt < n) return 0;
    else return 1;
}
int main(){
    int a,b;
    cin >> n >> m;
    memset(h,-1,sizeof h);//給頭節點賦值為-1；
    while(m--){
        cin >> a >> b;
        add(a,b);
        in[b] ++;// a -> b , b的入度++
    }
    if(topsort() == 0) cout << "-1";
    else {
        for(int i = 1;i <= n; ++i){
            cout << top[i] <<" ";
        }
    }
    return 0;
}

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C++詳細講解圖的拓撲排序

目錄

一、前言

二、演演算法流程

三、有向圖的拓撲排序

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