python機器學習Logistic迴歸原理推導

2022-06-09 14:01:56

前言

Logistic迴歸涉及到高等數學，線性代數，概率論，優化問題。本文儘量以最簡單易懂的敘述方式，以少講公式原理，多講形象化案例為原則，給讀者講懂Logistic迴歸。如對數學公式過敏，引發不適，後果自負。

Logistic迴歸原理與推導

Logistic迴歸中雖然有迴歸的字樣，但該演演算法是一個分類演演算法，如圖所示，有兩類資料（紅點和綠點）分佈如下，如果需要對兩類資料進行分類，我們可以通過一條直線進行劃分（w0 * x0 + w1 * x1+w2 * x2）。當新的樣本（x1,x2）需要預測時，帶入直線函數中，函數值大於0，則為綠色樣本（正樣本），否則為紅樣本（負樣本）。

推廣到高維空間中，我們需要得到一個超平面（在二維是直線，在三維是平面，在n維是n-1的超平面）切分我們的樣本資料，實際上也就是求該超平面的W引數，這很類似於迴歸，所以取名為Logistic迴歸。

sigmoid函數

當然，我們不直接使用z函數，我們需要把z值轉換到區間[0-1]之間，轉換的z值就是判斷新樣本屬於正樣本的概率大小。我們使用sigmoid函數完成這個轉換過程，公式如下。通過觀察sigmoid函數圖，如圖所示，當z值大於0時，σ值大於0.5，當z值小於0時，σ值小於於0.5。利用sigmoid函數，使得Logistic迴歸本質上是一個基於條件概率的判別模型。

目標函數

其實，我們現在就是求W，如何求W呢，我們先看下圖，我們都能看出第二個圖的直線切分的最好，換句話說，能讓這些樣本點離直線越遠越好，這樣對於新樣本的到來，也具有很好的劃分，那如何用公式表示並計算這個目標函數呢？

這時就需要這個目標函數的值最大，以此求出θ。

梯度上升法

在介紹梯度上升法之前，我們看一箇中學知識：求下面函數在x等於多少時，取最大值。

解：求f(x)的導數：2x，令其為0，求得x=0時，取最大值為0。但在函數複雜時，求出導數也很難計算函數的極值，這時就需要使用梯度上升法，通過迭代，一步步逼近極值，公式如下，我們順著導數的方向（梯度）一步步逼近。

利用梯度演演算法計算該函數的x值：

def f(x_old):
         return -2*x_old
def cal():
     x_old  = 0
     x_new = -6
     eps = 0.01
     presision = 0.00001
     while abs(x_new-x_old)&gt;presision:
        x_old=x_new
        x_new=x_old+eps*f(x_old)
     return x_new
-0.0004892181072978443

Logistic迴歸實踐

資料情況

讀入資料，並繪圖顯示：

def loadDataSet():
    dataMat = [];labelMat = []
    fr = open('資料/Logistic/TestSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat

訓練演演算法

利用梯度迭代公式，計算W：

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1 + np.exp(-inX))
def gradAscent(dataMatIn, labelMatIn):
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn)
    labelMat = np.mat(labelMatIn).transpose()
    m,n = np.shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = np.ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):
        h = sigmoid(dataMatrix * weights)
        error = labelMat - h
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
    return weights

通過計算的weights繪圖，檢視分類結果