Python實現求解最大公約數的五種方法總結

2022-07-11 18:00:50

方法一：短除法

短除法是求最大公因數的一種方法，也可用來求最小公倍數。求幾個數最大公因數的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數的因數找出來，然後再找出公因數，最後在公因數中找出最大公因數。後來，使用分解質因數法來分別分解兩個數的因數，再進行運算。之後又演變為短除法。短除法運算方法是先用一個除數除以能被它除盡的一個質數，以此類推，除到兩個數的商是互質數為止。

簡單來說就是逐步找出兩個數的所有公約數，再將這些公約數累乘起來，就能得到最大公約數啦！

a=int(input("please input the first number："))
b=int(input("please input the second number："))
m,n=a,b #  建立兩個變數儲存a和b
t=1 #  建立t作為最大公約數的載體
for i in range(2,min(a,b)):
    while (a%i==0 and b%i==0):
       t*=i #  所有公約數累乘起來
       a/=i
       b/=i
print((f"{m},{n}的最大公約數為：{t}"))

這種方法雖然有點麻煩，但是邏輯卻很清楚，不容易出錯。

方法二：歐幾里得演演算法（輾轉相除法）

歐幾里得演演算法是用來求兩個正整數最大公約數的演演算法。古希臘數學家歐幾里得在其著作《The Elements》中最早描述了這種演演算法,所以被命名為歐幾里得演演算法。

假如需要求 1997 和 615 兩個正整數的最大公約數,用歐幾里得演演算法，是這樣進行的：

1997 / 615 = 3······152

615 / 152 = 4······7

152 / 7 = 21······5

7 / 5 = 1······2

5 / 2 = 2······1

2 / 1 = 2······0

至此，最大公約數為1

以除數和餘數反覆做除法運算，當餘數為 0 時，取當前算式除數為最大公約數，所以就得出了 1997 和 615 的最大公約數 1。

明白了這其中的邏輯，我們就可以著手開始寫程式啦！

a=int(input("please input the first number："))
b=int(input("please input the second number："))
#  首先要給兩數排序，保證大數除以小數
m=max(a,b)
n=min(a,b)
t=m%n
while t!=0:
    m,n=n,t #  仔細觀察不難發現：每個除式的m、n是都是上一個式子的n和餘數
    t=m%n #  更新餘數
print(f"{a}和{b}的最大公約數為{n}")

當然了，遞迴方法也能實現歐幾里得演演算法。

def GCD(a,b):
    #  比較大小，保證大數除以小數
    if a<b:
        a,b=b,a
    #  判斷是否能整除，若能整除，直接返回被除數
    if a%b==0:
        return b
    #  若不能整除，則返回函數GCD，引數做相應變化
    else:
        return GCD(b,a%b)
a=int(input("please input the first number："))
b=int(input("please input the second number："))
gcd=GCD(a,b)
print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")

方法三：更相減損術

更相減損術是出自《九章算術》的一種求最大公約數的演演算法，它原本是為約分而設計的，但它適用於任何需要求最大公約數的場合。原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。

白話文譯文：

（如果需要對分數進行約分，那麼）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）。如果不可以折半的話，那麼就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數位來約分。

具體步驟：

第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。

第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。

則第一步中約掉的若干個2的積與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。

其中所說的“等數”，就是公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。

現在使用更相減損術求98與63的最大公約數。

解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公約數等於7。

a=int(input("please input the first number："))
b=int(input("please input the second number："))
#  首先要給兩數排序，保證大數減小數
m=max(a,b)
n=min(a,b)
#  判斷兩數是否都是偶數，如果都是偶數就同時除2
while m%2==0 and n%2==0:
    m,n=m/2,n/2
t=m-n
#  判斷條件是減數和差相等
while n!=t:
    m,n=max(n,t),min(n,t) #  每減一輪之後，都要重新判斷減數和差的大小，再次以大數減去小數
    t=m-n
print(f"{a}和{b}的最大公約數為{n}")

方法四：窮舉法（列舉法）

從兩個數中較小數開始，由小到大列舉，找出公約數並保證該公約數也屬於較大數，這些公約數的最大者就是最大公約數；也可以從大到小列舉，直到找出公約數後跳出迴圈，該公約數即是最大公約數。

a=int(input("please input the first number："))
b=int(input("please input the second number："))
p,q=min(a,b),max(a,b)
lst=[]
for i in range(1,p+1):
    if p%i==0 and q%i==0:
        lst.append(i)
gcd=max(lst)
print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")
 
#a=int(input("please input the first number："))
#b=int(input("please input the second number："))
#p,q=min(a,b),max(a,b)
#gcd=0
#for i in range(p,0,-1):
#    if p%i==0 and q%i==0:
#        gcd=i
#        break
#print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")

方法五：Stein演演算法

Stein演演算法是一種計算兩個數最大公約數的演演算法，是針對歐幾里德演演算法在對大整數進行運算時，需要試商導致增加運算時間的缺陷而提出的改進演演算法。

歐幾里得演演算法缺陷：

歐幾里德演演算法是計算兩個數最大公約數的傳統演演算法，無論從理論還是從實際效率上都是很好的。但是卻有一個致命的缺陷，這個缺陷在素數比較小的時候一般是感覺不到的，只有在大素數時才會顯現出來。

一般實際應用中的整數很少會超過64位元(當然已經允許128位元了)，對於這樣的整數，計算兩個數之間的模是很簡單的。對於字長為32位元的平臺，計算兩個不超過32位元的整數的模，只需要一個指令週期，而計算64位元以下的整數模，也不過幾個週期而已。但是對於更大的素數，這樣的計算過程就不得不由使用者來設計，為了計算兩個超過64位元的整數的模，使用者也許不得不採用類似於多位數除法手算過程中的試商法，這個過程不但複雜，而且消耗了很多CPU時間。對於現代密碼演演算法，要求計算128位元以上的素數的情況比比皆是，設計這樣的程式迫切希望能夠拋棄除法和取模。

看下面兩個結論：

gcd(a,a)=a，也就是一個數和其自身的公約數仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公約數運算和倍乘運算可以交換。特殊地，當k=2時，說明兩個偶數的最大公約數必然能被2整除。

當k與b互為質數，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是約掉兩個數中只有其中一個含有的因子不影響最大公約數。特殊地，當k=2時，說明計算一個偶數和一個奇數的最大公約數時，可以先將偶數除以2。

:param a: 第一個數

:param b: 第二個數

:return: 最大公約數

def gcd_Stein(a, b):
    #  保證b比a小
    if a < b:
        a, b = b, a
    if (0 == b):
        return a
    #  a、b都是偶數，除2右移一位即可
    if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
        return 2 * gcd_Stein(a / 2, b / 2)
    #  a是偶數
    if a % 2 == 0:
        return gcd_Stein(a / 2, b)
    #  b是偶數
    if b % 2 == 0:
        return gcd_Stein(a, b / 2)
    #  都是奇數
    return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)
 
a=int(input("please input the first number："))
b=int(input("please input the second number："))
gcd=int(gcd_Stein(a,b))
print(f"{a}和{b}的最大公約數為{gcd}")

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