圖文詳解牛頓迭代演演算法原理及Python實現

2022-08-10 18:02:36

1.引例

給定如圖所示的某個函數，如何計算函數零點x₀

在數學上我們如何處理這個問題？

最簡單的辦法是解方程f(x)=0，在代數學上還有著名的零點判定定理

如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)⋅f(b)<0,那麼函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即至少存在一個c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。

然而，數學上的方法並不一定適合工程應用，當函數形式複雜，例如出現超越函數形式；非解析形式，例如遞推關係時，精確的方程解析一般難以進行，因為代數上還沒發展出任意形式的求根公式。而零點判定定理求解效率也較低，需要不停試錯。

因此，引入今天的主題——牛頓迭代法，服務於工程數值計算。

2.牛頓迭代演演算法求根

記第k輪迭代後，自變數更新為x_k，令目標函數f(x)在x=x_k泰勒展開：

f(x)=f(x_k)+f′(x_k)(x−x_k)+o(x)

我們希望下一次迭代到根點，忽略泰勒餘項，令f(x_k+1)=0，則

x_k+1=x_k−f(x_k)/f'(x_k)

不斷重複運算即可逼近根點。

在幾何上，上面過程實際上是在做f(x)在x=x_k處的切線，並求切線的零點，在工程上稱為區域性線性化。如圖所示，若x_k在x₀的左側，那麼下一次迭代方向向右。

若x_k在x₀的右側，那麼下一次迭代方向向左。

3.牛頓迭代優化

將優化問題轉化為求目標函數一階導數零點的問題，即可運用上面說的牛頓迭代法。

具體地，記第k輪迭代後，自變數更新為x_k ，令目標函數f(x)在x=x_k泰勒展開：

f(x)=f(x_k)+f′(x_k)(x−x_k)+1/2f′′(x_k)(x−x_k)²+o(x)

兩邊求導得

f′(x)=f′(x_k)+f′′(x_k)(x−x_k)

令f′(x_k+1)=f′(x_k)+f′′(x_k)(x_k+1−x_k)=0，從而得到

x_k+1=x_k−f′(x_k)/f'′(x_k)

對於向量x=[x₁ x₂⋯x_d]^T，將上述迭代公式推廣為

x_k+1=x_k−[∇²f(x_k)]⁻¹∇f(x_k)

其中∇²f(x_k)是Hessian矩陣，當其正定時可以保證牛頓優化演演算法往減小的方向迭代

牛頓法的特點如下：

① 以二階速率向最優點收斂，迭代次數遠小於梯度下降法，優化速度快；

梯度下降法的解析參考圖文詳解梯度下降演演算法的原理及Python實現

②學習率為[∇²f(x_k)]⁻¹ ，包含更多函數本身的資訊，迭代步長可實現自動調整，可視為自適應梯度下降演演算法；

③ 耗費CPU計算資源多，每次迭代需要計算一次Hessian矩陣，且無法保證Hessian矩陣可逆且正定，因而無法保證一定向最優點收斂。

在實際應用中，牛頓迭代法一般不能直接使用，會引入改進來規避其缺陷，稱為擬牛頓演演算法簇，其中包含大量不同的演演算法變種，例如共軛梯度法、DFP演演算法等等，今後都會介紹到。

4 程式碼實戰：Logistic迴歸

import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit

'''
* @breif: 從CSV中載入指定資料
* @param[in]: file -> 檔名
* @param[in]: colName -> 要載入的列名
* @param[in]: mode -> 載入模式, set: 列名與該列資料組成的字典, df: df型別
* @retval: mode模式下的返回值
'''
def loadCsvData(file, colName, mode='df'):
    assert mode in ('set', 'df')
    df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)
    if mode == 'df':
        return df
    if mode == 'set':
        res = {}
        for col in colName:
            res[col] = df[col].values
        return res

if __name__ == '__main__':
    # ============================
    # 讀取CSV資料
    # ============================
    csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv"))
    dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df')
    dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df')
    label = np.array([
        1 if i == "是" else 0
        for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜'])))
    ])

    # ============================
    # 繪製樣本點
    # ============================
    line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
    plt.title('對數機率迴歸模擬nLogistic Regression Simulation')
    plt.xlabel('density')
    plt.ylabel('sugarRate')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
                dataX['含糖率'][label==0],
                marker='^',
                color='k',
                s=100,
                label='壞瓜')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
                dataX['含糖率'][label==1],
                marker='^',
                color='r',
                s=100,
                label='好瓜')

    # ============================
    # 範例化對數機率迴歸模型
    # ============================
    logit = Logit(dataX, label)

    # 採用牛頓迭代法
    logit.logitRegression(logit.newtomMethod)
    line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0]
    plt.plot(line_x, line_y, 'g-', label="牛頓迭代法")

    # 繪圖
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()

其中更新權重程式碼為

    '''
    * @breif: 牛頓迭代法更新權重
    * @param[in]: None
    * @retval: 優化引數的增量dw
    '''
    def newtomMethod(self):
        wTx = np.dot(self.w.T, self.X).reshape(-1, 1)
        p = Logit.sigmod(wTx)
        dw_1 = -self.X.dot(self.y - p)
        dw_2 = self.X.dot(np.diag((p * (1 - p)).reshape(self.N))).dot(self.X.T)
        dw = np.linalg.inv(dw_2).dot(dw_1)
        return dw

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圖文詳解牛頓迭代演演算法原理及Python實現

目錄

1.引例

2.牛頓迭代演演算法求根

3.牛頓迭代優化

4 程式碼實戰：Logistic迴歸

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