C語言深入分析浮點型資料儲存

2022-08-12 22:01:17

1. 前言

上篇文章，我們對整形是如何儲存的做出了講解，而在本篇文章中，我將講解浮點型是如何儲存的，以及對於浮點型資料之間的比較做出一個探究，相信在閱讀本篇文章後，你會對資料在記憶體中的儲存有一個新的認識。話不多說，我們進入正題。

2. 浮點型在記憶體中的儲存

浮點數包括float(單精度浮點數）、double(雙精度浮點數)、long double型別。

常見的浮點數有：

3.14
1E10//1.0 * (10 ^ 10)

而浮點數的取值範圍的相關資訊也在float.h中定義。

例如：

注：DBL_EPSILON和FLT_EPSILON分別是雙精度浮點數和單精度浮點數的精度。

瞭解基本概念之後，我們再看一個關於浮點型儲存的經典樣例。

3. 例題引入

下列程式輸出的結果是什麼？

int main()
{
	int n = 9;
	float* pFloat = (float*)&n;
	printf("n的值為：%dn", n);//9
	printf("*pFloat的值為：%fn", *pFloat);//0.000000
	*pFloat = 9.0;
	printf("num的值為：%dn", n);//1091567616
	printf("*pFloat的值為：%fn", *pFloat);//9.000000
	return 0;
}

按照我們平常的思路，結果也許為：9，9.0，9，9.0，因為存進去什麼樣拿出來就應該是什麼樣，對於浮點型只要加上小數點後六位就好了，但是結果真的是這樣嗎？讓我們執行一下：

發現結果和我們的想法大相庭徑，那麼說明浮點型和整形在記憶體中的儲存方式是不同的！

接下來讓我們瞭解一下浮點型的儲存規則！

4. 浮點數儲存規則

根據國際標準IEEE 754，任意一個二進位制浮點數可以表示成下面的形式：

(-1)^S * M * 2^E
(-1)^S表示符號位，當S=0，V為正數；當S=1，V為負數。
M表示有效數位，大於等於1，小於2。
2^E表示指數位。

4.1 浮點數的存

舉個栗子：

5.5
二進位制表示：101.1
解釋：(1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0).(1*2^(-1))
開始轉化：
101.1表示一個整數，所以S = 0；
而二進位制需要轉化成如下形式表示M：101.1 ->1.011；M >= 1 && M < 2
由於小數點向左移動兩位，所以指數位E為2；

表示結果：(-1)^0*1.011*2^2
S M E

通過如上步驟，5.5就正確按照規則存到了記憶體中！

我們在觀察一下S E M在記憶體中是如何劃分的：

32位元浮點數：

對於32位元浮點數，最高位的1位是符號位S，接著的8位元是指數E，剩下的23位為有效數位M。

64位元浮點數：

對於64位元的浮點數，最高的1位是符號位S，接著的11位是指數E，剩下的52位為有效數位M。

IEEE 754的特殊規定：

有效數位M：

前面說過， 1≤M<2 ，也就是說，M可以寫成1.xxxxxx 的形式，其中xxxxxx表示小數部分。

IEEE 754規定，在計算機內部儲存M時，預設這個數的第一位總是1，因此可以被捨去，只儲存後面的xxxxxx部分。

比如儲存1.01的時候，只儲存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數位。以32位元浮點數為例，留給M只有23位，

將第一位的1捨去以後，等於可以儲存24位元有效數位。

指數E：

至於指數E，情況就比較複雜。

首先，E為一個無符號整數，這意味著，如果E為8位元，它的取值範圍為0255；如果E為11位，它的取值範圍為02047。

但是，我們知道，科學計數法中的E是可以出現負數的，所以IEEE 754規定，存入記憶體時E的真實值必須再加上一個中間數，對於8位元的E，這個中間數是127；對於11位的E，這個中間數是1023。

比如，2^10的E是10，所以儲存成32位元浮點數時，必須儲存成10+127=137，即10001001。

4.2 浮點數的取

瞭解了浮點數的儲存，那麼它將資料取出又是什麼樣的呢？

指數E從記憶體中取出可以分成三種情況：

E不全為0或不全為1：

這時，浮點數就採用下面的規則表示，即指數E的計算值減去12（或1023），得到真實值，再將有效數位M前加上第一位的1。

比如：

0.5（1/2）的二進位制形式為0.1，由於規定正數部分必須為1，即將小數點右移1位，則為1.0*2^(-1)，在記憶體中為-1+127=126，表示為01111110，而尾數1.0去掉整數部分為0，補齊0到23位00000000000000000000000，

則其二進位制表示形式為:0 01111110 00000000000000000000000

E全為0：

這時，浮點數的指數E等於1-127（或者1-1023）即為真實值，

有效數位M不再加上第一位的1，而是還原為0.xxxxxx的小數。這樣做是為了表示±0，以及接近於0的很小的數位。

比如：

0.000000001 * 2 ^(-126)，這是不是一個極小的數位，幾乎接近於0(正負取決於符號位s)。

E全為1：

這時，若有效數位M全為0(0/1 11111111 00000000000000000000000)，表示±無窮大。

若有效數位M不全為0，則表示有效資料，是一個非常大的值。

5. 例題解答

int main()
{
	int n = 9;
	//二補數：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
	float* pFloat = (float*)&n;
	//浮點型儲存：0 00000000 00000000000000000001001
	//E為全零，E = 1 - 127 = -126
	//M不再加上1，M = 0.00000000000000000001001
	//正數，S = 0
	//(-1)^0 * 0.00000000000000000001001 * 2^(-126)
	//幾乎為0
	printf("n的值為：%dn", n);//儲存為整形，取出來也是按照整形的方式取：9
	printf("*pFloat的值為：%fn", *pFloat);//0.000000
	*pFloat = 9.0;
	//二進位制表示：1001.0
	//小數點右移三位：1.001 * 2 ^ 3
	//S = 0
	//M = 1.001
	//E = 3
    (-1)^0 * 1.001 * 2^3
	//浮點型儲存：0 01000010 00100000000000000000000
	printf("num的值為：%dn", n);//1091567616
	//認為記憶體中放的是有符號整數，符號位為0，正數
	//認為二進位制序列就是它的原碼
	printf("*pFloat的值為：%fn", *pFloat);//儲存為浮點型，取出來也是按照浮點型的方式取：9.000000
	return 0;
}

至此，浮點型的儲存方式，你明白了嗎？

6. 浮點型的精度探究(※)

此部分為浮點型儲存的拓展部分，內容為對浮點型資料之間的比較和浮點型精度的講解，由於這部分內容在實際學習時很少提及，故歸為拓展部分，有興趣的話可以瞭解一下。

(由於浮點數預設是double型別，使用float可能會出現告警，考慮到方便起見和double精度更高，所以以下內容均使用double型別)

6.1 浮點數的精度丟失

我們瞭解了浮點數的儲存方式之後，發現浮點數在儲存時有時是無法精確儲存的，是可能會有精度損失的，注意這裡的損失，不是一味的減少了，還有可能增多。浮點數本身儲存的時候，在計算不盡的時候，會採用“四捨五入”或者其他策略。

樣例：

int main()
{
	double x = 3.6;
	printf("%.50lfn", x);
	return 0;
}

執行結果：

6.2 浮點數之間如何比較

上述例子意味著，浮點數存入時資料會不一樣，這是否說明浮點數之間無法正常比較？事實勝於雄辯，接著探究：

int main()
{
	double x = 1.0;
	double y = 0.1;
	printf("%.50lfn", x - 0.9);
	printf("%.50lfn", y);
	if ((x - 0.9) == 0.1)
	{
		printf("==");
	}
	else
	{
		printf("!=");
	}
	return 0;
}

執行結果：

我們觀察結果，發現不僅儲存的內容發生了變化，而且直接用==相比較得出的結果也是不等於，那麼浮點數之間是如何比較的？應該如何理解？

C語言中浮點數應該進行範圍精度比較！！！

如圖：兩個浮點數只要進行比較時，它們的差值，只需要在-EPS ~ EPS的精度範圍內，那麼便認定兩個數相等！！！

同樣的，條件也可以寫成絕對值的形式：fabs((x - y) < EPSLION)。fabs是一個庫函數，計算變數的絕對值，相關標頭檔案為#include<math.h>。

這裡的EPSILON是精度，精度分為系統提供的精度(float.h中定義)和自定義的精度：

自定義的精度：

#define EPS 0.00000000000001//自定義的精度，名字，數值可以自定義

系統提供的精度：

#define DBL_EPSILON//系統提供的精度，需要引標頭檔案
#include<float.h>

轉到定義觀察一下：

這個數小到什麼程度呢？1.0雖然加很多資料都不等於1.0，但是這個DBL_EPSILON是最小的。

使用精度後，再進行比較：

//#define EPS 0.00000000000001//自定義方案
#define DBL_EPSILON//系統提供的精度，是一個非常小的值
#include<stdio.h>
#include<float.h>
#include<math.h>
int main()
{
	double x = 1.0;
	double y = 0.1; 
	printf("%.50lfn", x - 0.9);
	printf("%.50lfn", y);
	//if (fabs((x - 0.9) - y) < EPS)//自定義
	if (fabs((x - 0.9) - y) < DBL_EPSILON)//系統
	{
		printf("==n");
	}
	else
	{
		printf("!=n");
	}
	return 0;
}

執行結果：

6.3 浮點數和0比較

對於兩個浮點數之間比較寫做x - y的形式，那麼對於浮點數和0比較就為x - 0，直接寫做x即可。

樣例：

#include<float.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	double x = 0.0;
	if (fabs(x) < DBL_EPSILON)//fabs(x - 0)
	//if(x > -DBL_EPSILON && x < DBL_EPSILON)
	{
		printf("yesn");//一個浮點數和0比較，只要保證它的絕對值在精度範圍內就相等
	}
	return 0;
}

執行結果：