PID原理與python的簡單實現和調參

2022-08-25 18:02:22

一、前言

近期在實際專案中使用到了PID控制演演算法，於是就該演演算法做一總結。

二、PID控制演演算法詳解

2.1 比例控制演演算法

例子: 假設一個水缸，需要最終控制水缸的水位永遠維持在1米的高度。

水位目標：T 當前水位：Tn 加水量：U 誤差：error error=T-Tn 比例控制係數：kp U = k_p * errorU=kp∗error initial: T=1; Tn=0.2, error=1-0.2=0.8; kp=0.4

2.1.1 比例控制python簡單示意

T=1
Tn=0.2
error=1-0.2
kp=0.4

for t in range(1, 10):
    U = kp * error
    Tn += U
    error = T-Tn
    print(f't={t} | add {U:.5f} => Tn={Tn:.5f} error={error:.5f}')
   
"""
t=1 | add 0.32000 => Tn=0.52000 error=0.48000
t=2 | add 0.19200 => Tn=0.71200 error=0.28800
t=3 | add 0.11520 => Tn=0.82720 error=0.17280
t=4 | add 0.06912 => Tn=0.89632 error=0.10368
t=5 | add 0.04147 => Tn=0.93779 error=0.06221
t=6 | add 0.02488 => Tn=0.96268 error=0.03732
t=7 | add 0.01493 => Tn=0.97761 error=0.02239
t=8 | add 0.00896 => Tn=0.98656 error=0.01344
t=9 | add 0.00537 => Tn=0.99194 error=0.00806
"""

2.1.2 比例控制存在的一些問題

根據kp取值不同，系統最後都會達到1米，只不過kp大了達到的更快。不會有穩態誤差。若存在漏水情況，在相同情況下，經過多次加水後，水位會保持在0.75不在再變化,因為當U和漏水量一致的時候將保持不變——即穩態誤差 U=k_p*error=0.1 => error = 0.1/0.4 = 0.25U=kp∗error=0.1=>error=0.1/0.4=0.25，所以誤差永遠保持在0.25

T=1
Tn=0.2
error=1-0.2
kp=0.4
extra_drop = 0.1

for t in range(1, 100):
    U = kp * error
    Tn += U - extra_drop
    error = T-Tn
    print(f't={t} | add {U:.5f} => Tn={Tn:.5f} error={error:.5f}')

"""
t=95 | add 0.10000 => Tn=0.75000 error=0.25000
t=96 | add 0.10000 => Tn=0.75000 error=0.25000
t=97 | add 0.10000 => Tn=0.75000 error=0.25000
t=98 | add 0.10000 => Tn=0.75000 error=0.25000
t=99 | add 0.10000 => Tn=0.75000 error=0.25000
"""

實際情況中，這種類似水缸漏水的情況往往更加常見

比如控制汽車運動，摩擦阻力就相當於是"漏水"
控制機械臂、無人機的飛行，各類阻力和消耗相當於"漏水"

所以單獨的比例控制，很多時候並不能滿足要求

2.2 積分控制演演算法(消除穩態誤差)

比例+積分控制演演算法：

誤差累計
積分控制係數

2.2.1 python簡單實現

T=1
Tn=0.2
error=1-0.2
kp=0.4
extra_drop = 0.1
ki=0.2
sum_error = 0

for t in range(1, 20):
    sum_error += error
    U = kp * error + ki * sum_error
    Tn += U - extra_drop
    error = T-Tn
    print(f't={t} | add {U:.5f} => Tn={Tn:.5f} error={error:.5f}')


"""
t=14 | add 0.10930 => Tn=0.97665 error=0.02335
t=15 | add 0.11025 => Tn=0.98690 error=0.01310
t=16 | add 0.10877 => Tn=0.99567 error=0.00433
t=17 | add 0.10613 => Tn=1.00180 error=-0.00180
t=18 | add 0.10332 => Tn=1.00512 error=-0.00512
t=19 | add 0.10097 => Tn=1.00608 error=-0.00608
"""

2.3 微分控制演演算法(減少控制中的震盪)

在越靠近目標的時候則加的越少。

kd: 微分控制係數
d_error/d_t ~= error_t - error_t_1：誤差的變化

3.3.1 加入微分控制演演算法的python簡單示意

令：kd=0.2; d_error = 當前時刻誤差-前時刻誤差

T=1
Tn=0.2
error=1-0.2
kp=0.4
extra_drop = 0.1

ki=0.2
sum_error = 0

kd=0.2
d_error = 0
error_n = 0
error_b = 0

for t in range(1, 20):
    error_b = error_n
    error_n = error
    # print(error_b1, error_b2)
    d_error = error_n - error_b if t >= 2 else 0
    sum_error += error
    U = kp * error + ki * sum_error + kd * d_error
    Tn += U - extra_drop
    error = T-Tn
    print(f't={t} | add {U:.5f} => Tn={Tn:.5f} error={error:.5f} | d_error: {d_error:.5f}')

"""
t=14 | add 0.09690 => Tn=0.96053 error=0.03947 | d_error: 0.01319
t=15 | add 0.10402 => Tn=0.96455 error=0.03545 | d_error: 0.00310
t=16 | add 0.10808 => Tn=0.97263 error=0.02737 | d_error: -0.00402
t=17 | add 0.10951 => Tn=0.98214 error=0.01786 | d_error: -0.00808
t=18 | add 0.10899 => Tn=0.99113 error=0.00887 | d_error: -0.00951
t=19 | add 0.10727 => Tn=0.99840 error=0.00160 | d_error: -0.00899
"""

2.4 PID演演算法總結

for kp_i in np.linspace(0, 1, 10): pid_plot(kp=kp_i, ki=0.2, kd=0.2)

for ki_i in np.linspace(0, 1, 10): pid_plot(kp=0.5, ki=ki_i, kd=0.2)

for kd_i in np.linspace(0, 1, 10): pid_plot(kp=0.5, ki=0.2, kd=kd_i)

pid_plot(kp=0.65, ki=0.05, kd=0.5, print_flag=True)

三、牛頓法調參

損失函數採用：RMSE

from scipy import optimize 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def pid_plot(args, plot_flag=True, print_flag=False):
    kp, ki, kd = args
    T=1
    Tn=0.2
    error=1-0.2
    extra_drop = 0.1
    sum_error = 0
    d_error = 0
    error_n = 0
    error_b = 0
    Tn_list = []
    for t in range(1, 100):
        error_b = error_n
        error_n = error
        d_error = error_n - error_b if t >= 2 else 0
        sum_error += error
        U = kp * error + ki * sum_error + kd * d_error
        Tn += U - extra_drop
        error = T-Tn
        Tn_list.append(Tn)
        if print_flag:
            print(f't={t} | add {U:.5f} => Tn={Tn:.5f} error={error:.5f} | d_error: {d_error:.5f}')

    if plot_flag:
        plt.plot(Tn_list)
        plt.axhline(1, linestyle='--', color='darkred', alpha=0.8)
        plt.title(f'$K_p$={kp:.3f} $K_i$={ki:.3f} $K_d$={kd:.3f}')
        plt.ylim([0, max(Tn_list) + 0.2])
        plt.show()

    loss = np.sqrt(np.mean(np.square(np.ones_like(Tn_list) - np.array(Tn_list))))
    return loss



boundaries=[(0, 2), (0, 2), (0, 2)]
res = optimize.fmin_l_bfgs_b(pid_plot, np.array([0.1, 0.1, 0.1]), args=(False, False), bounds = boundaries, approx_grad = True)

pid_plot(res[0].tolist(), print_flag=True)
pid_plot([0.65, 0.05, 0.5], print_flag=True)

牛頓法調參結果圖示：