Python實現拉格朗日插值法的範例詳解

2023-02-08 22:00:47

概述拉格朗日插值法

什麼是插值法

插值法是一種數學方法，用於在已知資料點（離散資料）之間插入資料，以生成連續的函數曲線。

插值法可以用於確定一個未知資料點的值，並簡化複雜的數學計算過程。

插值法的應用廣泛，如統計學、工程學、科學研究等領域。

拉格朗日插值法的原理

格朗日插值法是一種多項式插值法。該方法基於拉格朗日函數的思想，用於通過已知資料點的插值多項式求解未知資料點的值。

拉格朗日插值法的具體過程如下：

確定已知資料點
構造拉格朗日函數，該函數用於計算每個已知資料點的影響值
求解拉格朗日函數的係數
通過拉格朗日函數預測未知資料點的值

拉格朗日插值法是一種通用的插值法，適用於一維、二維以及多維的資料點，其精度和效率取決於已知資料點的數量和分佈。

拉格朗日公式

拉格朗日插值公式是一種數學插值方法，用於根據給定的一些已知的點的函數值，求出函數在任意一點的值。

公式如下：

L(x)=∑(yi∗li(x))

其中，y_i是已知點的函數值，li(x)是拉格朗日基函數，由下式定義：

li(x)=(x−x0)∗(x−x1)∗...∗(x−xi−1)/[(xi−x0)∗(xi−x1)∗...∗(xi−xi−1)]

拉格朗日插值公式是一種多項式插值，適用於在多個點上插值。

使用該公式進行插值時，需要構造多項式，然後對該多項式進行求值，得到函數在任意點的值。

拉格朗日插值法的程式碼實現

import numpy as np

def lagrange_interpolation(x_known, y_known, x_new):
    n = len(x_known)
    y_new = 0
    for i in range(n):
        p = y_known[i]
        for j in range(n):
            if j != i:
                p *= (x_new - x_known[j]) / (x_known[i] - x_known[j])
        y_new += p
    return y_new

# 定義已知的資料點
x_known = np.array([0, 1, 2, 3])
y_known = np.array([1, 2, 4, 8])

# 計算新的資料點
x_new = 1.5
y_new = lagrange_interpolation(x_known, y_known, x_new)
print(y_new)

我們匯入了 numpy 庫，以方便使用矩陣運算。

我們定義了一個名為 lagrange_interpolation() 的函數，該函數接受三個引數： x_known 、 y_known 和 x_new 。

這三個引數分別是已知資料點的橫座標、縱座標和新資料點的橫座標。

函數中的 n 變數代表了已知資料點的個數。接下來使用迴圈列舉每一個已知資料點，通過拉格朗日插值法的公式進行計算。

最後，將每一個已知資料點的計算結果加起來，得到的結果即為新資料點的縱座標的值。

Python 進行拉格朗日插值的主要知識點

NumPy 庫：提供科學計算和陣列計算的工具。

Polyfit 函數：使用多項式擬合的函數，可以根據已知的資料點擬合多項式，並返回多項式的係數。

Polyval 函數：可以根據多項式的係數和需要計算的點的值，計算多項式在該點的值。

Linspace 函數：可以生成等差數列，可以作為插值點的值。

Polyfit 函數

polyfit() 函數是 Python 的 NumPy 庫中拉格朗日插值法的主要實現函數。

它可以用來計算最高次數為 N 的多項式擬合係數，以適應給定的輸入資料和輸出資料。

polyfit() 函數的語法格式如下：

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

x：輸入資料，一維陣列。
y：輸出資料，一維陣列。
deg：多項式的次數。
rcond：正則化的逆條件數。
full：是否返回詳細結果。
w：樣本權重。
cov：是否返回協方差矩陣。

返回值：如果 full 為 False，則返回擬合係數，否則返回擬合係數，協方差矩陣和其他資訊。

Polyval 函數

Polyval 函數是一個拉格朗日插值法的重要知識點，是 numpy 庫中拉格朗日插值的函數。

它的主要作用是通過已經計算的係數，在給定的點處進行插值。

語法：

numpy.polyval(p, x)

引數：

p：已經計算的係數，即需要拉格朗日插值的資料的多項式的係數。
x：需要插值的點的值。

返回值：

插值的結果。

範例：

import numpy as np

p = [1, 2, 3]  # 已知多項式係數
x = 5  # 要插值的點
result = np.polyval(p, x)

print("插值結果為：", result)

Linspace函數

Linspace函數是numpy中的一個函數，用於生成等差數列。

它的主要作用是將一段區間均勻分割成若干份，每一份代表一個數值。常用於生成x軸的資料，作為拉格朗日插值的橫座標。

該函數的語法為：

numpy.linspace(start, stop, num, endpoint, retstep, dtype)

引數說明：

start：起始數位
stop：終止數位
num：生成的數值數目，預設為50
endpoint：是否包括終止數位，預設為True
retstep：是否返回步長，預設為False
dtype：生成的陣列的資料型別，預設為None，表示預設資料型別

範例：

import numpy as np
x = np.linspace(0, 10, 5)
print(x)

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