Python實現兩種稀疏矩陣的最小二乘法

2023-02-27 06:00:53

最小二乘法

scipy.sparse.linalg實現了兩種稀疏矩陣最小二乘法lsqr和lsmr，前者是經典演演算法，後者來自斯坦福優化實驗室，據稱可以比lsqr更快收斂。

這兩個函數可以求解Ax=b，或arg min_x ∥Ax−b∥²，或arg min_x ∥Ax−b∥² +d²∥x−x0∥²，其中A必須是方陣或三角陣，可以有任意秩。

通過設定容忍度a_t,b_t,可以控制演演算法精度，記r=b-A_x為殘差向量，如果A_x=b是相容的，lsqr在∥r∥⩽a_t∗∥A∥⋅∥x∥+b_t∥b∥時終止；否則將在∥A^T_r∥⩽a_t∥A∥⋅∥r∥。

如果兩個容忍度都是10⁻⁶ ，最終的∥r∥將有6位精度。

lsmr的引數如下

lsmr(A, b, damp=0.0, atol=1e-06, btol=1e-06, conlim=100000000.0, maxiter=None, show=False, x0=None)

引數解釋：

A 可謂稀疏矩陣、陣列以及線性運算元
b 為陣列
damp 阻尼係數，預設為0
atol, btol 截止容忍度，是lsqr迭代的停止條件，即a_t,b_t 。
conlim 另一個截止條件，對於最小二乘問題，conlim應該小於10⁸，如果A_x=b是相容的，則conlim最大可以設到10¹²
iter_limint 迭代次數
show 如果為True，則列印運算過程
calc_var 是否估計(A.T@A + damp**2*I)^{-1}的對角線
x0 阻尼係數相關

lsqr和lsmr相比，沒有maxiter引數，但多了iter_lim, calc_va引數。

上述引數中，damp為阻尼係數，當其不為0時，記作δ，待解決的最小二乘問題變為

返回值

lsmr的返回值依次為：

x 即A_x=b中的x
istop 程式結束執行的原因
itn 迭代次數
normr ∥b−A_x∥
normar ∥A^T (b−Ax)∥
norma ∥A∥
conda A的條件數
normx ∥x∥

lsqr的返回值為

x 即A_x=b中的x
istop 程式結束執行的原因
itn 迭代次數
r1norm
anorm 估計的Frobenius範數Aˉ
acond Aˉ的條件數
arnorm ∥A^T_r−δ²(x−x₀)∥
xnorm ∥x∥
var (A^TA)⁻¹

二者的返回值較多，而且除了前四個之外，剩下的意義不同，呼叫時且須注意。

測試

下面對這兩種演演算法進行驗證，第一步就得先有一個稀疏矩陣

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_array

np.random.seed(42)  # 設定亂數狀態
mat = np.random.rand(500,500)
mat[mat<0.9] = 0
csr = csr_array(mat)

然後用這個稀疏矩陣乘以一個x，得到b

xs = np.arange(500)
b = mat @ xs

接下來對這兩個最小二乘函數進行測試

from scipy.sparse.linalg import lsmr, lsqr
import matplotlib.pyplot as plt
mx = lsmr(csr, b)[0]
qx = lsqr(csr, b)[0]
plt.plot(xs, lw=0.5)
plt.plot(mx, lw=0, marker='*', label="lsmr")
plt.plot(qx, lw=0, marker='.', label="lsqr")
plt.legend()
plt.show()

為了對比清晰，對影象進行放大，可以說二者不分勝負

接下來比較二者的效率，500 × 500 500times500500×500這個尺寸顯然已經不合適了，用2000×2000

from timeit import timeit

np.random.seed(42)  # 設定亂數狀態
mat = np.random.rand(500,500)
mat[mat<0.9] = 0
csr = csr_array(mat)
timeit(lambda : lsmr(csr, b), number=10)
timeit(lambda : lsqr(csr, b), number=10)

測試結果如下

>>> timeit(lambda : lsqr(csr, b), number=10)
0.5240591000001587
>>> timeit(lambda : lsmr(csr, b), number=10)
0.6156221000019286

看來lsmr並沒有更快，看來斯坦福也不靠譜(滑稽)。

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