2021-05-12 14:32:11
MATLAB利用LU分解法求解線性方程組
2019-12-24 22:33:50
當矩陣（方陣）A為行列式不為0的矩陣時，也就是說方陣A是可逆矩陣的，那麼A為非奇異矩陣。對於非奇異矩陣A可以進行LU分解，即把A分解為一個變換形式的下三角矩陣L（進行了行變換）和一個上三角矩陣U，使得A=L*U。同時得到線性方程組的解為X=U(Lb)，其中b為線性方程組等號右邊的常數構成的列向量。本文將演示MATLAB利用LU分解法求解線性方程組的方法。
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第一，下圖是要求解的線性方程組，參考了王正林等《MATLAB科學計算》有關內容。
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第二，啟動MATLAB，新建指令碼，輸入如下程式碼：
close all; clear all; clc
% MATLAB利用LU分解法求解線性方程組
% A是線性方程組等號左邊係數構成的矩陣
% b是線性方程組等號右邊常數構成的矩陣
format compact
A = [1.5 3 -0.8 4;2 0 9 10;-7 4.8 -0.6 1;14 12.3 -4 5];
b = [4 0 1 -2]';
[L,U] = lu(A)
X = U(Lb)
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第三，儲存和執行上述程式碼。得到線性方程組的解如下：
X =
-0.3721
-0.8291
-1.5336
1.4547
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第四，其中lu分解法得到了一個變換形式的下三角矩陣L（進行了行變換）和一個上三角矩陣U如下：
L =
0.1071 0.1536 0.0031 1.0000
0.1429 -0.1605 1.0000 0
-0.5000 1.0000 0 0
1.0000 0 0 0
U =
14.0000 12.3000 -4.0000 5.0000
0 10.9500 -2.6000 3.5000
0 0 9.1542 9.8474
0 0 0 2.8965
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第五，對變換形式的下三角矩陣L（進行了行變換）和上三角矩陣U進行驗證，即L*U是否等於A，在命令視窗輸入L*U，回車得到如下結果，可以見A=LU。這裡需要注意的是L*U，而不是L.*U，.*表示的矩陣每一項元素相乘，*表示矩陣相乘。
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第六，對解進行驗證，在命令列視窗輸入A*X，回車得到如下結果，可見A*X=b，即結果正確，說明LU分解法求解線性方程組的方法是有效的。
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