MATLAB使用QR分解法求線性方程組的解

2019-12-24 22:48:46

本文介紹MATLAB使用QR分解法求解線性方程組的方法，其中QR分解法是把系數矩陣A分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積。然後利用X=R(Qb)的方法求出線性方程組的解，其中b為線性方程組等號右邊常數構成的列向量。

第一，下圖是要求解的線性方程組，等號左邊構成系數矩陣A，等號右邊構成常數列向量b。該例子參考了王正林等《MATLAB科學計算》的有關內容。

第二，啟動MATLAB，新建指令碼，輸入以下程式碼：

close all; clear all; clc

% MATLAB使用QR分解法求線性方程組的解

% A是線性方程組等號左邊係數構成的矩陣

% b是線性方程組等號右邊常數構成的矩陣

format compact

A = [1 0.5 0.3333 0.25;0.5 0.3333 0.25 0.2;...

0.3333 0.25 0.2 0.1667;0.25 0.2 0.1667 0.1429];

b = [1 2 2 1]';

[Q,R] = qr(A)

X = R(Qb)

第三，儲存和執行上述程式碼，首先得到係數矩陣A分解成的一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，如下：

Q =

-0.8381 0.5226 -0.1539 -0.0273

-0.4191 -0.4415 0.7261 0.3198

-0.2793 -0.5290 -0.1350 -0.7899

-0.2095 -0.5021 -0.6564 0.5226

R =

-1.1931 -0.6705 -0.4749 -0.3699

0 -0.1185 -0.1257 -0.1176

0 0 -0.0062 -0.0096

0 0 0 0.0001

第四，同時得到線性方程組的解如下：

X =

1.0e+03 *

0.1546

-1.8578

4.5882

-3.0156

第五，在命令視窗輸入Q*R，驗證A是不是等於Q*R，結果顯示A=Q*R。

第六，在命令視窗輸入A*X，驗證A*X是不是等於b，結果顯示A*X=b，說明QR分解法求解線性方程組是正確的有效的。