MATLAB求解隱函數的導數和繪製隱函數的影象

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第一，首先給出這道關於隱函數求導的真題（如下圖），這道題來自2012年考研數學二中的第9題，該題意思為求隱函數的二階導數，並計算出x=0時二階導數y''(0)等於多少。

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第二，介紹隱函數的數學概念（如下圖），隱函數是由隱式方程所隱含定義的函數。

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第三，下面利用MATLAB解決這道考研真題，啟動MATLAB，新建m檔案，輸入如下程式碼。

close all; clear all; clc; format compact

syms x                 % 定義符號變數x     

y = sym('y(x)');       % y是關於x的函數

F = x^2-y+1-exp(y);    % 定義真題中的隱函數

disp('隱函數的一階導數dydx為:')

dFdx = diff(F,x,1);    % 求隱函數的一階導數

[r,s] = subexpr(dFdx,'s');

dydx = solve(r,'s')

disp('___________________________________________')

disp('隱函數的二階導數dy2dx為:')

dF2dx = diff(dydx,x,1);% 求隱函數的一階導數

dy2dx = subs(dF2dx,sym('diff(y(x), x)'),dydx)

syms y

disp('___________________________________________')

disp('x=0時,隱函數二階導數值dy2dx_0為:')

x0 = 0;y0 = solve(x0^2 - y + 1 - exp(y),0);

dy2dx_0 = subs(dy2dx,x,0);

dy2dx_0 = subs(dy2dx_0,sym('y(0)'),y0)

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第四，儲存和執行上述程式碼，在命令列視窗得到如下結果：

隱函數的一階導數dydx為:

dydx = (2*x)/(exp(y(x)) + 1)

___________________________________________

隱函數的二階導數dy2dx為:

dy2dx = 2/(exp(y(x)) + 1) - (4*x^2*exp(y(x)))/(exp(y(x)) + 1)^3

___________________________________________

x=0時,隱函數二階導數值dy2dx_0為:

dy2dx_0 = 1

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第五，新建指令碼，輸入如下程式碼，繪製題目中隱函數的影象。

close all; clear all; clc; format compact

syms y

x = -10:0.1:10;

Y = zeros(1,length(x));

i = 1;

for X=sym(x)

        Y(i) = double(solve(X^2-y+1-exp(y),0));

        i = i+1;

end   

plot(x,Y,'r-','LineWidth',3)

legend('隱函數:x^2-y+1=e^y','Location','North')

set(gca,'FontSize',13,'TickDir','out')

xlabel('x');ylabel('y');axis equal

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第六，儲存和執行上述程式碼，得到真題中隱函數的影象如下圖。